DOWÓD TWORZENIA

W istocie dowód twier­dzenia polegał na umiejętności narysowania z pomocą liniału i cyrkla wymaganej figury geometrycznej; był to „dowód poprzez konstrukcję”.Grecy w istocie pojmowali liczby w kategoriach fi­gur geometrycznych. Gdy starożytni kontynuatorzy Pitagorasa, który matematykę przeobraził w religię, nazywali liczbę konstytutywnym materiałem wszechświata, rozumieli przez to nie tylko, że wszechświat jest posłuszny zasadom matematyki, ale że sama licz­ba jest materialna. Taki pogląd jest skrajnie przeciw­ny poglądowi Galileusza i matematyków nowożytnych. Pitagorejczycy utożsamiali liczby z kształtami geome­trycznymi, z których składały się pierwiastki świata. Być może pod wpływem Pitagorasa sam Platon przed­stawił ten schemat w swoim dialogu kosmologicznym Timaios. Cztery regularne wielokątne bryły, złożone z trójkątów, to cztery pierwiastki: ogień, powietrze, woda i ziemia. Świat Platona był dosłownie zbudowa­ny z trójkątów.

COFAJĄC SIĘ W CZASIE

Cofając się bardziej w czasie, aż do starożytne] Grecji, odnajdujemy orientację matematyczną całkowicie    odmienną od zachodnioeuropejskiej, jakby na ironię   bliższą orientacji wieku komputerowego. W odróżnie­niu od analityków numerycznych, matematycy greccy myśleli zasadniczo w kategoriach geometrycznych — w kategoriach syntetycznej albo czystej geometrii Elementów Euklidesa, sztuki cyrkla i liniału. Natomiast   analityka interesują przede wszystkim abstrakcyjne    stosunki liczb, a ich aspekt geometryczny lub graficzny stanowi jedynie pomoc dydaktyczną. Uczącym się rachunku różniczkowego powiada się już na początku, że graf, jedynie obraz, nie dowodzi niczego. Jednakże dla starożytnego greckiego matematyka ten „jedynie obraz” był daleko ważniejszy.

WYMAGANIA NOWEJ METODY

Lewis Mumford wskazywał: i,Wymaganiom nowej me­tody naukowej i nowym poglądom odpowiadały jedy­nie mechanizmy, one bowiem tylko czyniły zadość definicji «rzeczywistości», i to o wiele doskonalej niż żywe organizmy. Z’chwilą gdy ten mechaniczny obraz  świata został ukonstytuowany, mechanizmy mogły prosperować, mnożyć się i dominować nad ludzką  egzystencją” (Technika, i cywilizacja, s. 38).Technolodzy poszukując nowych źródeł energii i mechanizacji technik także myśleli w kategoriach _ abstrakcyjnych. Ich maszyny odchodziły coraz dalej od   skali dostępnej człowiekowi, a oni mierzyli ich ewołucję w sztucznych jednostkach, takich jak konie mechaniczne czy waty. Jednostki te także zależały od   abstrakcyjnego pojęcia czasu, inspirowanego przez zegar mechaniczny. Matematyk badający właściwości  ciągów nieskończonych i inżynier projektujący coraz potężniejsze maszyny są wyrazicielami tego samego  ducha.

MIĘDZY TECHNOLOGIAMI

Wydawało się, że — jak powiedział Galileusz —’ jeśli księga natury jest zapisana w języku matematyki,. to Newton i jego kontynuatorzy wresz­cie zaczęli rozumieć gramatykę tej księgi. Między matematyką i fizyką a mechaniczno-dyna- miczną technologią tego samego okresu istniał wyraź­ny związek. Analiza numeryczna jest nauką abstrak­cyjną, zajmującą się idealnymi relacjami i nieskoń­czonymi ilościami, dla których w świecie rzeczywistym znajdujemy, jedynie niedoskonałe przykłady. Jednak jest ona.także, o dziwo, źródłem siły: w realnym świe­cie: technologia zachodnia bezpośrednio wykorzystuje tę naukę w swym dążeniu do ujarzmienia i kontrolo­wania:, natury. Fizyka newtonowska stworzyła , atmo­sferę intelektualną, w której mogła rozkwitać techno­logia, a stały się one tak stałymi towarzyszkami, iż słowa „nauka i technika” są jak papużki nierozłączki.

WIELKI AUTORYTET

W tej dziedzinie nauki, jak i w in­nych, Newton był wielkim autorytetem, więc jego pre­cyzyjne, nawet jeśli nieskończone, równania nadawały ton nowej erze matematycznej. Analiza nieskończono­ści stała się głównym kierunkiem studiów, definiują­cym matematykę osiemnastego i, dziewiętnastego wie­ku. Przy poszukiwaniu granic ciągu, przy rozwiązy­waniu równania różniczkowego odwoływano się do wy­tężonej myśli abstrakcyjnej. A te narzędzia matema­tyczne, szczególnie rachunek różniczkowy, mogły, jak pokazały Newtonowskie Principia, być także stosowa­ne z ;widocznym sukcesem do rozwiązywania. proble­mów fizyki. Właśnie rachunek różniczkowy pozwolił Newtonowi sformułować prawa dynamiki, opisujące z równą jasnością orbity planet oraz tory kul armat­nich na Ziemi.

FUNKCJE MATEMATYCZNE

‚Analiza bada funkcje matematyczne, które można graficznie inter­pretować jako relacje między zbiorami liczb. Jest tak­że nauką o nieskończoności — studiuje nieskończone ciągi punktów i liczb; jej pierwszym owocem był wy­nalazek rachunku różnicowego i całkowego w końcu osiemnastego wieku. Newton, który nadał tej analizie jej nowoczesny sens, musiał pokonać odwieczne uprze­dzenie, również odziedziczone po Grekach, wobec po­jęcia nieskończoności. Musiał: wykazać, że ciągi nie­skończone są w każdym calu równie wartościowym obiektem matematycznym jak szacowna nauka alge­bry, że „Rozumowanie jest tutaj nie mniej pewne niż gdzie indziej, a Równania nie są mniej dokładne” (De analysi, cyt. za Carlem Boyerem, A History o/ Mathe- matics, s. 433).

SWÓJ WYMIAR

Także ona ma swój wymiar historyczny, każdy wiek tworzy bowiem swój własny rodzaj matematyki, ze specyficznymi problemami i zainteresowaniami. > To wszystko wywiera wpływ daleko wykraczający poza techniczną sferę matematyki. Świątynia dorycka jest wizualnym wyrażeniem greckiej idei geometrii, fuga Bacha jest wyrazem zachodniego zamiłowania do ab­strakcji,. relacji algebraicznych, a z kolei komputer zwiastuje nową i wpływową filozofię numeryczną. Z pewnością zapowiada on zerwanie z matematyką praktykowaną w Europie Zachodniej aż do końca dzie­więtnastego stulecia. Era ta zaowocowała wynalazkiem analizy nieskończoności, stworzeniem nowej nauki z geometrii opisowej (odziedziczonej po Grekach) i algebry (przejętej w części od Arabów).

MATEMATYKA I KULTURA

Wypada teraz rozważyć kwestię, dlaczego ta zmiana w myśleniu matematyków ma szersze znaczenie. W istocie matematyka zawsze była pewnym wskaź­nikiem charakteru kultury i kierunku jej rozwoju. W każdym wieku tylko niewielka część ogółu ludzi wykształconych wnika głębiej w tajniki wyższej ma­tematyki, a jeszcze mniej osób potrafi twórczo wyko­rzystywać – jej twierdzenia. Istnieje jednak poczucie liczb, postawa wobec matematycznych obiektów, to zaś można wykształcić bez specjalistycznego przygoto­wania. Poczucie liczb przenika naukę, technologię, a nawet sztukę, jest ważnym rysem kulturowego wi­zerunku każdego społeczeństwa. Matematyka nie jest po prostu jednolitym systemem wiedzy, kumulowanym od czasów Greków czy Egipcjan lub Babilończyków.

WSZYSTKIE OGRANICZENIA

Gdy bierzemy pod uwagę wszystkie te ograniczenia, zasadne jest pytanie, dlaczego komputery w ogóle są używane w matematyce. Odpowiedź brzmi, że maszy­ny te są włączane do pracy nad problemami (zwykle zawierającymi równania różniczkowe), które nie mogą być łatwo rozwiązane (lub też w ogóle nie mogą być rozwiązane) z pomocą tradycyjnych technik dziewięt­nastowiecznych. Równania różniczkowe są jednym z głównych narzędzi poznawania świata przyrodnicze­go w takich dziedzinach, jak radioaktywność, zmiany pogody, wzrost biologiczny, elektryczność, magnetyzm i tym podobne. Niedokładny komputer cyfrowy jest zatem jedynym sposobem rozwiązywania problemów, które codziennie napotykają inżynierowie, fizycy i che­micy. Wszechobecność problemów numerycznych w kręgu zagadnień cywilnych i wojskowych uczyniła komputer niezastąpionym w świecie matematyki sto­sowanej. A on z kolei zaoferował światu szczególnie urokliwą postać ucieleśnionej matematyki, naukę liczb skokowych (dyskretnych) i skończonych oraz działań podatnych na błędy.

ANALITYCY NUMERYCZNI

Analitycy numeryczni poświęcają też wie­le wysiłku na pokonywanie czasu, innego ogranicze­nia maszyny. Mimo niezwykłej szybkości komputera, istnieje w matematyce wiele jeszcze problemów, do których rozwiązania najszybsze komputery potrzebo­wałyby setek lat. Wszystkie problemy muszą mieć ta­ką naturę lub zostać tak ograniczone, aby, gdzie to możliwe, zmieściły się w skali czasowej, w której mo­że operować, komputer. Nawet wówczas, gdy analityk numeryczny znalazł nie obciążony błędem algorytm, bywa tak, że nie może cieszyć się jego mocą lub do­kładnością; gdyż jest zbyt czasochłonny do wykona­nia, a być może nawet nieskończony. Dokładność i wy­dajność są ze sobą połączone; metoda bardziej do­kładna jest często wolniejsza.